已知函数y=-ax2+bx+c（a≠0）图象过点P（-1,2）和Q（2,4）（1）证明：无论a为任何实数时,抛物线的图象与x轴的交点在原点两侧；若它的图象与x轴有两个交点A、B（A在B左）,与y轴交于点C,且CO/BO-C

Question

已知函数y=-ax2+bx+c（a≠0）图象过点P（-1,2）和Q（2,4） （1）证明：无论a
为任何实数时,抛物线的图象与x轴的交点在原点两侧；若它的图象与x轴有两个交点A、B（A在B左）,与y轴交于点C,且CO/BO-CO/AO=1 ,求抛物线解析式；
（2）点M在（1）中所求的函数图象上移动,是否存在点M,使AM⊥BM?若存在,求出点M的坐标；若不存在,试说明理由．

Answer 1

参考
y=-ax^2+bx+c
-a-b+c=2
-4a+2b+c=4
b=a+2/3
c=2a+8/3
y=-ax^2+bx+c
=-ax^2+(a+2/3)x+2a+8/3
-ax^2+(a+2/3)x+2a+8/3=0
△=(a+2/3)^2-4(-a)(2a+8/3)
=9a^2+12a+4/9≥0
a≥-2/3+4√2/9或a≤-2/3-4√2/9
x1x2=(2a+8/3)/(-a)=-2-8/(3a)
当a≥-2/3+4√2/9时
-2-8/(3a)≥-2-8/(-2+4√2/3)=34+24√2＞0
当a≤-2/3-4√2/9时
-2-8/(3a)≤-2-8/(-2-4√2/3)=34-24√2＞0
x1、x2同号,
抛物线的图象与X轴的交点在原点同侧.