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设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3＝0,则E－A和E＋A的行列式是否为0
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设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵,若A^3＝0,则E－A和E＋A的行列式是否为0
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答案和解析
E－A和E＋A的行列式都不为0
设B＝E－A
则,A＝E－B
因为,A^3＝0
则,(E－B)^3＝0
即,B^3－3B^2＋3B＝E
即,B(B^2－3B＋3E)＝E
所以,B为可逆矩阵
则,B的行列式不为0
所以,E－A的行列式不为0
同理,E＋A的行列式也不为0
设B＝E－A
则,A＝E－B
因为,A^3＝0
则,(E－B)^3＝0
即,B^3－3B^2＋3B＝E
即,B(B^2－3B＋3E)＝E
所以,B为可逆矩阵
则,B的行列式不为0
所以,E－A的行列式不为0
同理,E＋A的行列式也不为0
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