设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

Question

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+A^TA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

Answer 1

因为 B^T=（λE+A^TA）^T=λE+A^TA=B，
所以B为n阶实对称矩阵．
对于任意的实n维列向量x，有：
x^TBx=x^T（λE+A^TA）x=λx^Tx+x^TA^TAx=λx^Tx+（Ax）^T（Ax）．
当x≠0时，有 λx^Tx＞0，（Ax）^T（Ax）≥0，
从而，x^TBx=λx^Tx+（Ax）^T（Ax）＞0，
故B为正定矩阵．