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如何证明两个凸集的向量和也是凸集
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如何证明两个凸集的向量和也是凸集
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答案和解析
用定义
设A,B是两个凸集,和集是C
令x,y是C中的两点,x=a1+b1,y=a2+b2,其中a1,a2属于A,b1,b2属于B,只需证明ux+(1-u)y属于C.而
ux+(1-u)y=u(a1+b1)+(1-u)(a2+b2)=(ua1+(1-u)a2)+(ub1+(1-u)b2)
由A,B凸,后面的两部分分别属于A和B,所以ux+(1-u)y在A和B的和集C里.
设A,B是两个凸集,和集是C
令x,y是C中的两点,x=a1+b1,y=a2+b2,其中a1,a2属于A,b1,b2属于B,只需证明ux+(1-u)y属于C.而
ux+(1-u)y=u(a1+b1)+(1-u)(a2+b2)=(ua1+(1-u)a2)+(ub1+(1-u)b2)
由A,B凸,后面的两部分分别属于A和B,所以ux+(1-u)y在A和B的和集C里.
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