设(X,d)是度量空间,A是X的子集,如果A=int(cl(A)),那么,我们称A是空间(X,d)的正则开集,正则开集的余集称为正则闭集.证明：所有正则开集的全体构成空间的基.

Question

设(X,d)是度量空间,A是X的子集,如果A=int(cl(A)),那么,我们称A是空间(X,d)
的正则开集,正则开集的余集称为正则闭集.证明：所有正则开集的全体构成空间的基.

Answer 1

任给X的开集U,及U中一点x0,
存在a>0,使得 {x | d(x,x0) U2 = int(cl(U1)) 包含于 int(cl(U2)),
U2 包含于 cl(U1) ==> cl(U2) 包含于 cl(cl(U1))=cl(U1) ==>int(cl(U2)) 包含于 int(cl(U1))=U2
所以 int(cl(U2))=U2,即U2 是正则开集.
2.U2 包含于 {x | d(x,x0)