已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A.2B.7C.13D.15

Question

已知F₁，F₂分别是双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若△ABF₂是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）
A. 2
B. √(7)
C. √(13)
D. √(15)

Answer 1

根据双曲线的定义，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-(1)/(2)）=28a²，解之得c=√(7)a，
由此可得双曲线C的离心率e=(c)/(a)=√(7)．
故选：B．