求曲线积分J=Lyzdx+3zxdy-xydz，其中L是曲线x2+y2＝4y3y−z+1＝0，且顺着x轴的正向看是沿逆时针方向．

Question

求曲线积分J=

L

yzdx+3zxdy-xydz，其中L是曲线

x2+y2＝4y

3y−z+1＝0

，且顺着x轴的正向看是沿逆时针方向．

Answer 1

由J=

L

yzdx+3zxdy−xydz，知P=yz，Q=3zx，R=-xy，设L所围成的曲面为∑，取其方向为上侧
则由斯托克斯公式，得
J＝

∫∫

.

dydz	dzdx	dxdy
(∂)/(∂x)	(∂)/(∂y)	(∂)/(∂z)
P	Q	R

.

=

∫∫

−4xdydz+2ydzdx−2zdxdy
而∑是平面3y-z+1=0包含在柱面x²+y²=4y内的部分
∴∑在yoz面的投影为0，在xoy面的投影为D={（x，y）|x²+y²≤4}
而∑的法向量

n

＝(0，−3，1)，因此

n

的方向余弦分别为cosα＝0，cosβ＝−(3)/(√(10))，cosγ＝(1)/(√(10))
∴由第一类和第二类曲面积分的联系，得
J＝

∫∫

2ydzdx−2zdxdy
=

∫∫

作业帮用户 2017-11-06

问题解析

首先，根据斯托克斯公式将第二类曲线积分转化为第二类曲面积分；由于L所围成的曲面在yoz面的投影不好写出来，因此，将转化后的第二类曲面积分中对yoz曲面的积分，先转化为第一类曲面积分，再转化为对xoy面的积分；最后，依据第一类曲面积分的计算方法计算，即可．

名师点评

本题考点：

用斯托克斯公式计算曲线积分；第二类曲线积分的计算．

考点点评：

此题考查斯托克斯公式、第一类和第二类曲面积分的关系、第二类曲面积分的计算，知识点较多．在碰到空间上封闭曲线的第二类曲线积分时，要首先想起用斯托克斯公式．

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