如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△ADE的位置，连接BD并延长交AE于F．（1）求线段BD的长；（2）求在旋转过程中所形成的CD，BE与线段BC，DE所围成的阴

Question

如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√(2)，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△ADE的位置，连接BD并延长交AE于F．

（1）求线段BD的长；
（2）求在旋转过程中所形成的

CD

，

BE

与线段BC，DE所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

（1）连接BE．
∵∠C=90°，AC=BC=√(2)
∴∠BAC=∠ABC=45°，AB=√(AC2+BC2)=2；
∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AE=AB=2，DE=AD=AC=√(2)，
∠BAE=∠CAD=60°，∠DAE=∠BAC=45°；
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，
∴B、D两点均在线段AE的中垂线上，
∴∠BFA=90°，
∴DF=AD•sin∠DAE=1，BF=AB•sin∠BAE=√(3)，
∴BD=BF-DF=√(3)-1．
（2）由旋转变换可知，△ABC≌△AED，
∴S_△ABC=S_△AED，
∴S_阴影=S_扇形ABE+S_△ABC-S_△AED-S_扇形ADC
=S_扇形ABE-S_扇形ADC
=(60π•22)/(360)-(60π•(√(2))2)/(360)
=(4)/(6)π-(2)/(6)π
=(1)/(3)π．