函数f（x）=log3（x2+2x-8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．（1）若m=-4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；（2）若存在x∈[0，12]使得不等式g（x）≤-1成立，求实数m的取值范围．

Question

函数f（x）=log₃（x²+2x-8）的定义域为A，函数g（x）=x²+（m+1）x+m．
（1）若m=-4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；
（2）若存在x∈[0，(1)/(2)]使得不等式g（x）≤-1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由x²+2x-8>0，解得：x∈（-∞，-4）∪（2，+∞），
故则函数f（x）=log₃（x²+2x-8）的定义域A=（-∞，-4）∪（2，+∞），…（2分）
若m=-4，g（x）=x²-3x-4，由x²-3x-4≤0，解得：x∈[-1，4]，则B=[-1，4]…（4分）
所以A∩B=（2，4]；                                                       …（6分）
（2）存在x∈[0，(1)/(2)]使得不等式x²+（m+1）x+m≤-1成立，
即存在x∈[0，(1)/(2)]使得不等式-m≥(x2+x+1)/(x+1)成立，所以-m≥（(x2+x+1)/(x+1)）_min      …（10分）
因为(x2+x+1)/(x+1)=x+1+(1)/(x+1)-1≥1，
当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号
所以-m≥1，
解得：m≤-1．                           …（14分）