已知集合A={1，2，3，…，2n}．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，，都有，则称S具有性质P．(1)当n=10时，试判断集合B={x∈A|x>9}和是否具有性质P？

Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，，都有，则称S具有性质P．
(1)当n=10时，试判断集合B={x∈A|x>9}和是否具有性质P？并说明理由．
(2)若n=1000时，
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．____

Answer 1

【分析】(1)当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x>9}={10，11，12，…，19，20}，根据性质P的定义可知其不具有性质P；C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}，令m=1＜10，利用性质P的定义即可验证|c₁-c₂|≠1；
\n(2)当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}，①根据T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，可得1≤2001-x₀≤2000，利用性质P的定义加以验证即可说明集合T={2001-x|x∈S}具有性质P；②设集合S有k个元素．由第①问知，任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，从而得到集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P的定义进行分析即可求得k+t≤2000，即，解此不等式得k≤1333．

(1)当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x>9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．
\n因为对任意不大于10的正整数m，
\n都可以找到该集合中两个元素b₁=10与b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立．
\n集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性质P．
\n因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N^*
\n都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1．
\n(2)当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}
\n①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．
\n首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
\n因为S⊆A，所以x₀∈{1，2，3，…，2000}，
\n从而1≤2001-x₀≤2000，即t∈A，所以T⊆A．
\n由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，
\n使得对S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m．
\n对于上述正整数m，
\n从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S，
\n则有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，
\n所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P．
\n②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．
\n任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，
\n所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
\n不妨设S中有t个元素b₁，b₂，…，b_t不超过1000．
\n由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，
\n使得对S中任意两个元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
\n所以一定有b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∉S．
\n又b_i+m≤1000+1000=2000，故b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∈A，
\n即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
\n因此k+t≤2000，所以，得k≤1333，
\n当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，
\n取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y₁，y₂，
\n都有|y₁-y₂|≠667，即集合S具有性质P，
\n而此时集合S中有1333个元素．
\n因此集合S元素个数的最大值是1333．

【点评】此题是中档题．考查集合之间的包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析．