如图，AB是O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交AC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：DC=DP；（2）若∠CAB=30°，当F是AC的中点时，判断以A，O

Question

如图，AB是 O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交

AC

于点F，交过点C的切线于点D．

（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是

AC

的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵∠OAC=∠ACO，PE⊥OE，OC⊥CD，
∴∠APE=∠PCD，
∵∠APE=∠DPC，
∴∠DPC=∠PCD，
∴DC=DP；

（2） 以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；
∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，
连接OF，AF，
∵F是

AC

的中点，
∴∠AOF=∠COF=60°，
∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四边形OACF为菱形．