在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，-8），连接AB．（1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；（2）如图②，在（1）的条件下，连接OH

Question

在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，-8），连接AB．
（1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB；
（3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB，OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图①中，

∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90°
∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠HAC=∠OBC．
在△OAP与△OBC中，

∠COB=∠POA=90°

OA=OB

∠OAP=∠OBC

，
∴△OAP≌△OBC（ASA），

（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②．

在四边形OMHN中，∠MON=360°-3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP．
在△COM与△PON中，

∠COM=∠PON

∠OMC=∠ONP=90°

OC=OP

，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM=ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP=(1)/(2)∠CHA=45°，
∵∠AHB=90°，
∴2∠OHP=∠AHB．

（3）结论：BG-BO=AF．
理由如下：连接OE，如图3．

∵∠AOB=90°，OA=OB，E为AB的中点，
∴OE⊥AB，∠BOE=∠AOE=45°，OE=EA=BE，
∴∠OAD=45°，∠GOE=90°+45°=135°，
∴∠EAF=135°=∠GOE．
∵GE⊥EF即∠GEF=90°，
∴∠OEG=∠AEF，
在△GOE与△FAE中，

∠OEG=∠AEF

OE=AE

∠GOE=∠EAF

，
∴△GOE≌△FAE，
∴OG=AF，
∴BG-BO=GO=AF，
∴BG-BO=AF．