（1）已知f（x）在闭区间[a，b]上连续，对∀x∈[a，b]，成立f（x）∈[a，b]，求证：[a，b]内存在一点c，使得f（c）=c（2）判断是否存在这样一个R上的连续函数f（x），使有理数的函数值为无理

Question

（1）已知f（x）在闭区间[a，b]上连续，对∀x∈[a，b]，成立f（x）∈[a，b]，求证：[a，b]内存在一点c，使得f（c）=c
（2）判断是否存在这样一个R上的连续函数f（x），使有理数的函数值为无理数，无理数的函数值为有理数．

Answer 1

（1）令F（x）=f（x）-x，因为a≤f（x）≤b，故有：
F（a）=f（a）-a≥0，F（b）=f（b）-b≤0，
从而利用连续函数的零点定理可得：
存在c∈[a，b]，使得F（c）=0，
即：f（c）=c．
（2）这样的函数不存在．
事实上，对于任意函数f：[a，b]→R，若f在有理点上取无理数值，在无理点上取有理数值，则f不是[a，b]上的连续函数．
可以用反证法进行证明．
假设f是I=[a，b]上的连续函数．
一方面，由题设条件，知f是[a，b]上非常值函数的连续函数，所以f的值域f（I）是一个区间，f（I）是不可数的；
另一方面，由于有理点是可数的，其上的函数值集是至多可数的，函数取有理数值的函数值集也是至多可数的，从而f（I）是至多可数的；
这两者是矛盾的，所以，假设不成立．结论得证．