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(1)已知f(x)在闭区间[a,b]上连续,对∀x∈[a,b],成立f(x)∈[a,b],求证:[a,b]内存在一点c,使得f(c)=c(2)判断是否存在这样一个R上的连续函数f(x),使有理数的函数值为无理
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(1)已知f(x)在闭区间[a,b]上连续,对∀x∈[a,b],成立f(x)∈[a,b],求证:[a,b]内存在一点c,使得f(c)=c
(2)判断是否存在这样一个R上的连续函数f(x),使有理数的函数值为无理数,无理数的函数值为有理数.
(2)判断是否存在这样一个R上的连续函数f(x),使有理数的函数值为无理数,无理数的函数值为有理数.
▼优质解答
答案和解析
(1)令F(x)=f(x)-x,因为a≤f(x)≤b,故有:
F(a)=f(a)-a≥0,F(b)=f(b)-b≤0,
从而利用连续函数的零点定理可得:
存在c∈[a,b],使得F(c)=0,
即:f(c)=c.
(2)这样的函数不存在.
事实上,对于任意函数f:[a,b]→R,若f在有理点上取无理数值,在无理点上取有理数值,则f不是[a,b]上的连续函数.
可以用反证法进行证明.
假设f是I=[a,b]上的连续函数.
一方面,由题设条件,知f是[a,b]上非常值函数的连续函数,所以f的值域f(I)是一个区间,f(I)是不可数的;
另一方面,由于有理点是可数的,其上的函数值集是至多可数的,函数取有理数值的函数值集也是至多可数的,从而f(I)是至多可数的;
这两者是矛盾的,所以,假设不成立.结论得证.
F(a)=f(a)-a≥0,F(b)=f(b)-b≤0,
从而利用连续函数的零点定理可得:
存在c∈[a,b],使得F(c)=0,
即:f(c)=c.
(2)这样的函数不存在.
事实上,对于任意函数f:[a,b]→R,若f在有理点上取无理数值,在无理点上取有理数值,则f不是[a,b]上的连续函数.
可以用反证法进行证明.
假设f是I=[a,b]上的连续函数.
一方面,由题设条件,知f是[a,b]上非常值函数的连续函数,所以f的值域f(I)是一个区间,f(I)是不可数的;
另一方面,由于有理点是可数的,其上的函数值集是至多可数的,函数取有理数值的函数值集也是至多可数的,从而f(I)是至多可数的;
这两者是矛盾的,所以,假设不成立.结论得证.
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