已知数列{an}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{bn}是等差数列，满足b2=4，b4=a3．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an-bn，求数列{cn}的前n项和．

Question

已知数列{a_n}是等比数列，满足a₁=3，a₄=24，数列{b_n}是等差数列，满足b₂=4，b₄=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n-b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意，得q3=(a4)/(a1)=(24)/(3)=8，…（2分）
解得：q=2．…（3分）
∴an=a1qn-1=3×2n-1(n=1，2，…)．…（4分）
∴a₃=12．…（5分）
设等差数列{a_n}的公差为d，
∵b₂=4，b₄=12，
∵b₄=b₂+2d，
∴12=4+2d，
解得：d=4，
∴b_n=b₂+（n-2）d=4+（n-2）×4=4n-4，
b_n=4n-4．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=3×2n-1，b_n=4n-4，
因此cn=an-bn=3×2n-1-(4n-4)．
从而数列{c_n}的前n项和Sn=3+6+…+3×2n-1-[0+4+8+…+(4n-4)]…（9分）
=3×(1-2n)/(1-2)-(n(4n-4))/(2)…（11分）
=3×2ⁿ-3-n（2n-2）…（12分）
=3×2ⁿ-3-2n²+2n．…（13分）