已知直线y=b与函数f（x）=2x+3和g（x）=ax+lnx分别交于A，B两点，若|AB|的最小值为2，则a+b=．

Question

已知直线y=b与函数f（x）=2x+3和g（x）=ax+lnx分别交于A，B两点，若|AB|的最小值为2，则a+b=___．

Answer 1

设A（x₁，b），B（x₂，b），
则2x₁+3=ax₂+lnx₂=b，
∴x₁=(1)/(2)（ax₂+lnx₂-3），
∴|AB|=x₂-x₁=（1-(1)/(2)a）x₂-(1)/(2)lnx₂+(3)/(2)，
令y=（1-(1)/(2)a）x-(1)/(2)lnx+(3)/(2)，
则y′=1-(1)/(2)a-(1)/(2)•(1)/(x)=((2-a)x-1)/(2x)（x>0），
由|AB|的最小值为2，
可得2-a>0，
函数在（0，(1)/(2-a)）上单调递减，在（(1)/(2-a)，+∞）上单调递增，
∴x=(1)/(2-a)时，函数y取得极小值，且为最小值2，
即有（1-(1)/(2)a）•(1)/(2-a)-(1)/(2)ln(1)/(2-a)+(3)/(2)=2，
解得a=1，
由x₂=1，
则b=ax₂+lnx₂=1+ln1=1，
可得a+b=2．
故答案为：2．