设f（x）=3x3+x2|x|，则使f（n）（0）存在的最高阶数n为（）A．0B．1C．2D．3

Question

设f（x）=3x³+x²|x|，则使f^（n）（0）存在的最高阶数n为（　　）

A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

∵f(x)＝

4x3	，x≥0
2x3	，x＜0

，
①首先考虑在x=0的一阶导数，
由于：f′−(0)＝

lim

x→0−

(f(x)−f(0))/(x)=

lim

x→0−

(2x3)/(x)＝0，
而：f′+(0)＝

lim

x→0+

(f(x)−f(0))/(x)=

lim

x→0+

(4x3)/(x)＝0，
∴f′_-（0）=f′₊（0）=0，
从而：f′（0）存在，
计算得：f′(x)＝

12x2	，x≥0
6x2	，x＜0

，
②考虑在x=0的二阶导数
由于：f″−(0)＝

lim

x→0−

(f′(x)−f′(0))/(x)=

lim

x→0−

(12x2)/(x)＝0
而：f″+(0)＝

lim

x→0+

(f′(x)−f′(0))/(x)=

lim

x→0+

(6x2)/(x)＝0
∴f″_-（0）=f″₊（0）=0，
从而：f″（0）存在，
计算得：f″(x)＝

24x	，x≥0
12x	，x＜0

，
③考虑在x=0处的三阶导数
由于：f″‘−(0)＝

lim

x→0−

(f′’(x)−f′(0))/(x)=

lim

x→0−

(24x)/(x)＝24
而：f″′+(0)＝

lim

x→0+

(f″(x)−f(0))/(x)=

lim

x→0+

(12x)/(x)＝12
∴f′″_-（0）≠f′″₊（0），
从而：f′″（0）不存在，
于是，n=2．
故选：C．