已知函数f(x)＝2sin(2x+π3)+1．（Ⅰ）当x＝43π时，求f（x）值；（Ⅱ）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Question

已知函数f(x)＝2sin(2x+(π)/(3))+1．
（Ⅰ）当x＝(4)/(3)π时，求f（x）值；
（Ⅱ）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

（1）当x＝(4)/(3)π时，f(x)＝2sin(2×(4π)/(3)+(π)/(3))+1＝2sin(3π)+1＝2sinπ+1＝1；
（2）f(x)＝0⇒sin(2x+(π)/(3))＝−(1)/(2)⇒x＝kπ−(π)/(4)或x＝kπ−(7)/(12)π，k∈Z，
即f（x）的零点相离间隔依次为(π)/(3)和(2π)/(3)，
故若y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，
则b-a的最小值为2×(2π)/(3)+3×(π)/(3)＝(7π)/(3)．