如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE+CF=m．（1）证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；（2）求△BEF面积的最小值．

Question

如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE+CF=m．
（1）证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
（2）求△BEF面积的最小值．

Answer 1

（1）连接BD，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=DB，
又∵AE+CF=m，
∴AE=DF，
在△ABE和△DBF中

AB＝DB

∠A＝∠BDF＝60°

AE＝DF

，
∴△ABE≌△DBF（SAS），
∴BE=BF∴∠EBF=∠ABD=60°，
∴△BEF是等边三角形．

（2）当BE⊥AD时面积最小，此时BE=√(m2−((1)/(2)m)2)=(√(3))/(2)m，
△BEF的EF边上的高=√(((√(3))/(2)m)2−((√(3))/(4)m)2)=(3)/(4)m，
S_△BEF=(1)/(2)×(√(3))/(2)m×(3)/(4)m=(3)/(16)√(3)m²．