（2013•临沂一模）设f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0，π2]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Question

（2013•临沂一模）设f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）若a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）x=1时，f（x）有极值，证明：当θ∈[0，(π)/(2)]时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]=aex(x+(1)/(a))(x+2)．
（i）当a＝(1)/(2)时，f′(x)＝(1)/(2)ex(x+2)2≥0恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．
（ii）当0＜a＜(1)/(2)时，则(1)/(a)＞2，即−(1)/(a)＜−2．
由f′（x）＞0，解得x＞−2或x＜−(1)/(a)；当f′（x）＜0时，解得−(1)/(a)＜x＜−2．
∴函数f（x）在区间(−∞，−(1)/(a))和（-2，+∞）上单调递增；在(−(1)/(a)，−2)上单调递减．
（iii）当a＞(1)/(2)时，则(1)/(a)＜2，即−(1)/(a)＞−2．
由f′（x）＞0，解得x＞−(1)/(a)或x＜−2；由f′（x）＜0，解得−2＜x＜−(1)/(a)．
∴函数f（x）在区间（-∞，-2）和（-(1)/(a)，+∞）上单调递增；在(−2，−(1)/(a))上单调递减．
（Ⅱ）∵当x=1时，f（x）有极值，∴f′（1）=0．∴3ae(1+(1)/(a))＝0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f′（x）=-e^x（x-1）（x+2）．
令f′（x）＞0，解得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上单调递增，
∵sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f（sinθ）-f（cosθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．