在等边三角形ABC中,点M、N分别在AB、AC上,且BM=AN,BN与CM相交于点O,三角形ABC的面积是7,三角形OBC的面积是2,求BM:AB的值

Question

在等边三角形ABC中,点M、N分别在AB、AC上,且BM=AN,BN与CM相交于点O,三角形ABC
的面积是7,三角形OBC的面积是2,求BM:AB 的值

Answer 1

连接AO,设S△AOM=m,BM：MA=a：1（a＞0）．
∵AN=BM,AB=AC,
∴AN：CN=a；
在△BAN和△CBM中：
∵△ABC为正三角形,
∴AB=BC,∠BAN=∠CBM=60°,
又∵BM=AN,
∴△BAN≌△CBM（SAS）,
∴S△BAN=S△CBM,
∴S△BAN-S△BOM=S△CBM-S△BOM,
∴S四边形AMON=S△BOC；
又∵S△OBC=2,
∴S四边形AMON=2；
∴S△AON=S四边形AMON-S△AOM=2-m…①
而S△ABC=7,
∴S△BOM+S△CON=S△ABC-S△BOC-S四边形AMON=3；
∵△AOM和△BOM的高相等（都是点O到AB得距离）,
∴S△BOM：S△AOM=BM：AM=a,
∴S△BOM=am…②
∴S△CON=3-S△BOM=3-am,
同理,S△AON：S△CON=AN：CN=a,
∴（2-m）：（3-am）=a,即2-m=3a-a^2*m…③
同理,S△ACM：S△BCM=AM：BM=1：a,
∴[m+（2-m）+（3-am）]：（am+2）=1：a,即（5-am）：（am+2）=1：a,
∴am+2=5a-a^2*m…④
④-③得,（a+1）m=2a
∴m= 2a/(a+1)；
将m值代入③式,得
2- 2a/(a+1)=3a-a^2• 2a/(a+1),即(a+1)(2a-1)(a-2)=0,
∴a= -1(舍去),1/2,或者2；
当a= 1/2时,BM/BA=1/3；
当a=2时,BM/BA=2/3；
所以BM/BA= 1/3或 2/3．