已知曲线y=ax（a＞0）与曲线y=lnx在点（x0，y0）处有公共切线，求：（1）常数a及切点（x0，y0）；（2）两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx．

Question

已知曲线y=a√(x)（a＞0）与曲线y=ln√(x)在点（x₀，y₀）处有公共切线，求：
（1）常数a及切点（x₀，y₀）；
（2）两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V_x．

Answer 1

（1）因为曲线y=a√(x)（a＞0）与曲线y=ln√(x)在点（x₀，y₀）处有公共切线，
所以(a√(x))′|x0＝(ln√(x))|x0，且y0＝a√(x0)，y0＝ln√(x0)
∴

(a)/(2√(x0))＝(1)/(2x0)

y0＝a√(x0)

y0＝(1)/(2)lnx0

∴解得：
a＝(1)/(e)，(x0，y0)＝(e2，1)
（2）V_x=π

∫

e2 0

((√(x))/(e))2dx−π

∫

e2 1

((1)/(2)lnx)2dx
而

∫

e2 0

((√(x))/(e))2dx=(1)/(e2)

∫

e2 0

xdx＝(1)/(2e2)x2

|

e2 0

＝(1)/(2)e2

∫

e2 1

((1)/(2)lnx)2dx=(1)/(4)

∫

e2 1

ln2xdx=(1)/(4)[xln2x

|

e2 1

−2

∫

e2 1

lnxdx]=(1)/(4)[4e2−2xlnx

|

e2 1

+2

∫

e2 1

dx]＝(1)/(2)(e2−1)
∴Vx＝π[(1)/(2)e2−(1)/(2)(e2−1)]＝(1)/(2)π