圆C的方程为（x-2）2+y2=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）2+（y-5sinθ）2=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则PE•PF的最小值为．

Question

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则

PE

•

PF

的最小值为______．

Answer 1

（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圆心M（2+5sinθ，5cosθ），半径等于1．
∵|CM|=√((5sinθ)2+(5cosθ)2)=5＞2+1，故两圆相离．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

最小，需 |

PE

| 和

|PF|

最小，且cos∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆M 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|=√(|HC|2−|CE|2)=√(16−4)=2 √(3)，sin∠CHE=(|CE|)/(|CH|)=(1)/(2)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(1)/(2)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2 √(3)×2 √(3)×(1)/(2)=6，
故答案为：6．