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如图,已知圆O1与圆O2外切于点P,直线AB是两圆的外公切线,分别与两圆相切于A、B两点,AC是圆O1的直径,过C作圆O2的切线,切点为D.(Ⅰ)求证:C,P,B三点共线;(Ⅱ)求证:
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如图,已知圆O 1 与圆O 2 外切于点P,直线AB是两圆的外公切线,分别与两圆相切于A、B两点,AC是圆O 1 的直径,过C作圆O 2 的切线,切点为D. (Ⅰ)求证:C,P,B三点共线; (Ⅱ)求证:CD=CA. ![]() |
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答案和解析
(Ⅰ)连接PC,PA,PB,![]() ∵AC是圆O 1 的直径,∴∠APC=90°, 作⊙O 1 与⊙O 2 的内公切线MP交AB与点M. 又∵AB是两圆的外公切线,A,B为切点, ∴∠BAP=∠MPA,∠MPB=∠MBP, ∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°, ∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°, ∴∠CPB=180°. ∴C,P,B三点共线. (Ⅱ)∵CD切圆O 2 于点D,∴CD 2 =CP•CB. 在△ABC中,∠CAB=90°,又∵AP⊥BC,∴CA 2 =CP•CB. 故CD=CA. |
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