己知：一张矩形纸片记作矩形ABCD，CD=3，AD=8，点E是边BC上的点，连结DE，将△DEC沿着DE所在的直线折叠，记点C的对称点为点C′，C′E所在的直线交边AD于点F，设EC=x．（1）若点C′恰好落在边AD

Question

己知：一张矩形纸片记作矩形ABCD，CD=3，AD=8，点E是边BC上的点，连结DE，将△DEC沿着DE所在的直线折叠，记点C的对称点为点C′，C′E所在的直线交边AD于点F，设EC=x．
（1）若点C′恰好落在边AD上，求x的值．
（2）①若点C′落在矩形ABCD内部，求证：△FED是等腰三角形．
②当△FED是等边三角形时，x=___（直接写出答案）
（3）当x=6时，△FED的面积=___（直接写出答案）

Answer 1

（1）如图1中，

点C′恰好落在边AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADC=90°，
由折叠的性质可知∠EDC=∠EDF=45°，
∵∠C=∠EC′D=90°，
∴△DEC′，△DEC都是等腰直角三角形，
∴x=EC=CD=3，

（2）①如图2中，

点C′落在矩形ABCD内部时，∵∠DEC=∠DEC′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDE=∠DEC，
∴∠FED=∠FDE，
∴FE=FD，
∴△DEF是等腰三角形．

②如图3，

∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
∴∠EDC=90°-∠FDE=30°，
在Rt△DEC中，EC=DC•tan30°=3×(√(3))/(3)=√(3)．
∴x=√(3)，
故答案为√(3)．
（3）如图4中，作EM⊥AD于M．

∵∠CED=∠DEF=∠FDE，
∴FE=FD，设FE=FD=x，
在Rt△DEM中，∵FM=DM-DF=EC-DF=6-x，EM=CD=3，
∴3²+（6-x）²=x²，
∴x=(15)/(4)，
∴EF=(15)/(4)，
∴S_△EFD=(1)/(2)•EF•DC′=(1)/(2)×(15)/(4)×3=(45)/(8)．
故答案为(45)/(8)．