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已知，，圆，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以，为焦点的椭圆。（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限
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| 已知  ， ，圆 ，一动圆在 轴右侧与 轴相切，同时与圆 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以 ， 为焦点的椭圆。（1）求曲线C的方程； （2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且  ，求曲线E的标准方程；（3）在（1）、（2）的条件下，直线  与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线 的斜率 的取值范围。 |
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答案和解析
| 已知  ， ，圆 ，一动圆在 轴右侧与 轴相切，同时与圆 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以 ， 为焦点的椭圆。（1）求曲线C的方程； （2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且  ，求曲线E的标准方程；（3）在（1）、（2）的条件下，直线  与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线 的斜率 的取值范围。 |
| （1）  ；（2） |
| 试题分析：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0），由动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F 2 相外切，知|CF 2 |-x=1，由此能求出曲线C的方程． （2）依题意，c=1，|PF 1 |=  ，得x p = ，由此能求出曲线E的标准方程．（3）设直线l与椭圆E交点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），A，B的中点M的坐标为（x 0 ，y 0 ），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3（x 1 -x 2 ）（x 1 +x 2 ）+4（y 1 -y 2 ）（y 1 +y 2 ）=0，由此能够求出直线l的斜率k的取值范围 （1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0） 因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F 2 相外切， 所以|CF 2 |-x=1，…（1分） ∴(x-1) 2 +y 2 =x+1化简整理得y 2 =4x，曲线C的方程为y 2 =4x（x＞0）； …（3分）（2）依题意，c=1，|PF 1 |= ，得x p = ，…（4分）∴|PF 2 |= ，又由椭圆定义得2a=|PF 1 |+|PF 2 |=4，a=2．…（5分）∴b 2 =a 2 -c 2 =3，所以曲线E的标准方程为 =1．…（6分）（3）设直线l与椭圆E交点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），A，B的中点M的坐标为（x 0 ，y 0 ），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3x 1 2 +4y 1 2 -12=0，3x 2 2 +4y 2 2 -12=0两式相减得3（x 1 -x 2 ）（x 1 +x 2 ）+4（y 1 -y 2 ）（y 1 +y 2 ）=0，∴ =- ，…（7分）∵y 0 2 =4x 0 ，∴直线AB的斜率k= =- y 0 ，…（8分）由（2）知x p = ，∴y p 2 =4x p = ，∴y p =± 由题设- ＜y 0 ＜ (y 0 ≠0)，∴- ＜- y 0 ＜ ，…（10分）即- ＜k＜ （k≠0）．…（12分）点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点差法和等价转化思想的合理运用． |
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