已知，，圆，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以，为焦点的椭圆。（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限

Question

已知 ， ，圆 ，一动圆在 轴右侧与 轴相切，同时与圆 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以 ， 为焦点的椭圆。
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且 ，求曲线E的标准方程；
（3）在（1）、（2）的条件下，直线 与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线 的斜率 的取值范围。

Answer 1

已知 ， ，圆 ，一动圆在 轴右侧与 轴相切，同时与圆 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以 ， 为焦点的椭圆。
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且 ，求曲线E的标准方程；
（3）在（1）、（2）的条件下，直线 与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线 的斜率 的取值范围。

（1） ；（2）

试题分析：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0），由动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F ₂ 相外切，知|CF ₂ |-x=1，由此能求出曲线C的方程．
（2）依题意，c=1，|PF ₁ |= ，得x _p = ，由此能求出曲线E的标准方程．
（3）设直线l与椭圆E交点A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），A，B的中点M的坐标为（x ₀ ，y ₀ ），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3（x ₁ -x ₂ ）（x ₁ +x ₂ ）+4（y ₁ -y ₂ ）（y ₁ +y ₂ ）=0，由此能够求出直线l的斜率k的取值范围
（1）设动圆圆心的坐标为（x，y）（x＞0）
因为动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F ₂ 相外切，
所以|CF ₂ |-x=1，…（1分）
∴(x-1) ² +y ² =x+1化简整理得y ² =4x，曲线C的方程为y ² =4x（x＞0）； …（3分）（2）依题意，c=1，|PF ₁ |= ，得x _p = ，…（4分）∴|PF ₂ |= ，又由椭圆定义得2a=|PF ₁ |+|PF ₂ |=4，a=2．…（5分）∴b ² =a ² -c ² =3，所以曲线E的标准方程为
=1．…（6分）（3）设直线l与椭圆E交点A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），A，B的中点M的坐标为（x ₀ ，y ₀ ），将A，B的坐标代入椭圆方程中，得3x ₁ ² +4y ₁ ² -12=0，3x ₂ ² +4y ₂ ² -12=0两式相减得3（x ₁ -x ₂ ）（x ₁ +x ₂ ）+4（y ₁ -y ₂ ）（y ₁ +y ₂ ）=0，∴ =- ，…（7分）∵y ₀ ² =4x ₀ ，∴直线AB的斜率k= =- y ₀ ，…（8分）由（2）知x _p = ，∴y _p ² =4x _p = ，∴y _p =± 由题设- ＜y ₀ ＜  (y ₀ ≠0)，∴- ＜- y ₀ ＜ ，…（10分）即- ＜k＜ （k≠0）．…（12分）
点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点差法和等价转化思想的合理运用．