求曲线y=e^x在点（0,1）处的切线方程还有这2道求心形曲线r=a(1+cosθ)(a>0)所围图形的面积设f（x）=arctane^x，试求df（x）

Question

求曲线y=e^x在点（0,1）处的切线方程
还有这2道
求心形曲线r=a(1+cosθ)(a>0)所围图形的面积
设f（x）=arctan e^x，试求df（x）

Answer 1

切线方程和微分的太简单了,我就说下心形曲线的面积吧
r=a(1+cosθ)由于上半部分和下半部分对称,所以只需求(0,PI)内的面积即可
S = ∫r²dθ = ∫a²(1+cosθ)²dθ = a²∫(1+2cosθ + cos²θ)dθ = a²[θ+2sinθ +θ/2-sin2θ/4] = 3/4a²θ = 3/4a²π
所以整个心型线的面积为2S = 3/2a²π
以下是心形曲线的图像