线性方程组A1=(1,0,2,3),A2=(1,1,3,5),A3=(1,-1,a+2,1),A4=(1,2,4,a+8),B=(1,1,b+3,5).求a,b为何值时,B可唯一地表示成A1,A2,A3,A4的线性组合?并写出这种表达式

Question

线性方程组
A1=(1,0,2,3),A2=(1,1,3,5),A3=(1,-1,a+2,1),A4=(1,2,4,a+8),B=(1,1,b+3,5).求a,b为何值时,B可唯一地表示成A1,A2,A3,A4的线性组合?并写出这种表达式

Answer 1

(A1,A2,A3,A4,B) =
1 1 1 1 1
0 1 -1 2 1
2 3 a+2 4 b+3
3 5 1 a+8 5
r3-2r1,r4-3r1
1 1 1 1 1
0 1 -1 2 1
0 1 a 2 b+1
0 2 -2 a+5 2
r1-r2,r3-r2,r4-2r2
1 0 2 -1 0
0 1 -1 2 1
0 0 a+1 0 b
0 0 0 a+1 0
所以,当a≠-1时,B可唯一地表示成A1,A2,A3,A4的线性组合
此时,(A1,A2,A3,A4,B) -->
r4*[1/(a+1)],r1+r4,r2-2r4
1 0 2 0 0
0 1 -1 0 1
0 0 a+1 0 b
0 0 0 1 0
r3*[1/(a+1)],r1-2r3,r2+r3
1 0 0 0 -2b/(a+1)
0 1 0 0 (a+b+1)/(a+1)
0 0 1 0 b/(a+1)
0 0 0 1 0
所以 B = [1/(a+1)][-2bA1+(a+b+1)A2+bA3+0A4].