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如图,点A是半圆上的一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是直径MN上一个动点,圆O的半径为1,(1)找出当AP+BP能得到最小值时,点P的位置,并证明(2)求出AP+BP最小值.
题目详情
如图,点A是半圆上的一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是直径MN上一个动点,圆O的半径为1,
(1)找出当AP+BP能得到最小值时,点P的位置,并证明
(2)求出AP+BP最小值.
(1)找出当AP+BP能得到最小值时,点P的位置,并证明
(2)求出AP+BP最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过A作AA′⊥MN于E,连接BA′.
∵MN过圆心O,
∴AE=EA′,
∴AP=PA′,即AP+BP=PA′+BP,
根据两点间线段最短,当A′,P,B三点共线时,PA′+BP=BA',
AP+BP此时为最小值,
∴P位于A′B与MN的交点处;
(2)∵点A是半圆上的一个三等分点,
∴∠AON=∠A'ON=60°,
∵点B是弧AN的中点,
∴
=
,
∴∠BON=30°,
∴∠BOA'=∠A'ON+∠BON=90°,
∵OB=OA=1,
∴BA′=
,即AP+BP最小值为
.
∵MN过圆心O,
∴AE=EA′,
∴AP=PA′,即AP+BP=PA′+BP,
根据两点间线段最短,当A′,P,B三点共线时,PA′+BP=BA',
AP+BP此时为最小值,
∴P位于A′B与MN的交点处;
(2)∵点A是半圆上的一个三等分点,
∴∠AON=∠A'ON=60°,
∵点B是弧AN的中点,
∴
AB |
BN |
∴∠BON=30°,
∴∠BOA'=∠A'ON+∠BON=90°,
∵OB=OA=1,
∴BA′=
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