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若曲线的切线在X轴和Y轴上的截距之和为二,求曲线所满足的一阶微分方程
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若曲线的切线在X轴和Y轴上的截距之和为二,求曲线所满足的一阶微分方程
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答案和解析
设曲线上的任一点(a,f(a))
切线斜率为f'(a)
切线为：y=f'(a)(x-a)+f(a)
当x=0时,y=-af'(a)+f(a)
当y=0时,x=-f(a)/f'(a)+a
由题意,有-af'(a)+f(a)-f(a)/f'(a)+a=2
改为通常的x,y,
即以x取代a,y取代f(a),y'取代f'(a),则微分方程为：
-xy'+y-y/y'+x=2
切线斜率为f'(a)
切线为：y=f'(a)(x-a)+f(a)
当x=0时,y=-af'(a)+f(a)
当y=0时,x=-f(a)/f'(a)+a
由题意,有-af'(a)+f(a)-f(a)/f'(a)+a=2
改为通常的x,y,
即以x取代a,y取代f(a),y'取代f'(a),则微分方程为：
-xy'+y-y/y'+x=2
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