已知两点，，曲线C上的动点P满足．(1)求曲线C的方程；(2)曲线C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Question

已知两点，，曲线C上的动点P满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．____

Answer 1

【分析】(1)由题意可得：|MF₁|+|MF₂|=|F₁F₂|=4>|F₁F₂|=4，所以曲线C是以F₁(-2，0)，F₂(2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，进而求出椭圆的标准方程．
(2)假设椭圆C存在点M满足题意，设M(x，y)，可得：=3，再利用点在椭圆上所以有：x²=8-2y²，进而根据两个方程求出点的坐标得到答案．

(1)因为|F₁F₂|=4，|MF₁|+|MF₂|=|F₁F₂|=4>|F₁F₂|=4，
所以曲线C是以F₁(-2，0)，F₂(2，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以a=2，c=2，
所以b²=4，
曲线C的方程为 ．
(2)假设椭圆C存在点M，使得．
证明：设M(x，y)，则，，
∴．
∵，
∴x²=8-2y²，
∴，
令4-y²=3，
解得：y=±1，
∴x=．
∴满足题意的点共有四个：，．

【点评】本题主要考查了椭圆的定义与椭圆的简单性质，以及向量的数量积．考查了学生分析问题和解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解题．