如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．

Question

如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．

Answer 1

证明：作DE⊥AC于E，
则AC=(5)/(4)AE，AB=5DE，
又∵G是AB的中点，
∴AG=(5)/(2)ED．
∴(25)/(4)ED²=AF•(5)/(4)AE，
∴5ED²=AF•AE，
∴AB•ED=AF•AE，
∴(AB)/(AE)=(AF)/(ED)，
∴△BAF∽△AED，
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠DAB=90°，
∴∠ABF+∠DAB=90°，
即AD⊥BF．