设点F'是F(1.0)关于坐标原点O得对称点,动点P满足向量|PF|＋向量|PF'|=4,过点F的直线l与动点P的轨迹相交于M.N两点,且向量MF＝2向量FN.求动点P的轨迹方程,求直线l的方程

Question

设点F'是F(1.0)关于坐标原点O得对称点,动点P满足向量|PF|＋向量|PF'|=4,过点F的直线l与动点P的轨迹相交于M.N两点,且向量MF＝2向量FN.求动点P的轨迹方程,求直线l的方程

Answer 1

F'(-1,0),动点P满足向量|PF|＋向量|PF'|=4
那么P的轨迹是一个椭圆,且2a=4,a=2,c=1,b^2=a^2-c^2=4-1=3
故P的方程是x^2/4+y^2/3=1.
设直线L方程是x=my+1
代入到椭圆中得:(m^2y^2+2my+1)/4+y^2/3=1
(3m^2+4)y^2+6my-9=0
判别式=36m^2-4(3m^2+4)*(-9)=144m^2+144
y1=(-6m+12根号(m^2+1)/(6m^2+8)
y2=(-6m-12根号(m^2+1)/(6m^2+8)
由于向量MF=2FN,则有y1=-2y2
所以有-6m+12根号(m^2+1)=-2(-6m-12根号(m^2+1)=12m+24根号(m^2+1)
-3m=2根号(m^2+1)
9m^2=4(m^2+1)
5m^2=4
m^2=4/5
m=(+/-)2/5根号5
故L的方程是x=(+/-)2/5根号5y+1.