三角板是我们常用的数学工具．下图是将一个三角板的直角顶点放在另一个等腰直角三角形斜边BC的中点D处转动，DE与AB交于点M，DF与AC交于点N（点M、N不与△ABC顶点重合），连接AD．（1）图

Question

三角板是我们常用的数学工具．下图是将一个三角板的直角顶点放在另一个等腰直角三角形斜边BC的中点D处转动，DE与AB交于点M，DF与AC交于点N（点M、N不与△ABC顶点重合），连接AD．
（1）图中与∠ADM一定相等的是哪一个角？为什么？
（2）图中与△AMD一定全等的是哪一个三角形？为什么？
（3）当CN=1，DN=√(2)，求线段AN的长．

Answer 1

（1）图中与∠ADM一定相等的角是∠CDN，
理由是：∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°=∠MDN，
∴∠MDN-∠ADN=∠ADC-∠ADN，
即∠ADM=∠CDN．

（2）图中与△AMD一定全等的三角形是△CND，
理由是：∵AB=AC，BD=DC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAD=(1)/(2)∠BAC=45°，∠B=∠C=45°，AD=DC=BD=(1)/(2)BC，
∴∠DAM=∠C，
在△AMD和△CND中

∠DAM＝∠C

AD＝DC

∠ADM＝∠CDN

，
∴△AMD≌△CND（ASA）．

（3）
过N作NH⊥BC于H，
∵AD⊥BC，
∴AD∥NH，∠NHC=∠NHD=90°，
∵∠C=45°，CN=1，
∴sin45°=(NH)/(CN，)，cos45°=(CH)/(CN)，
∴NH=CH=(√(2))/(2)，
在Rt△DNH中，由勾股定理得：DH=√((√(2))2−((√(2))/(2))2)=

作业帮用户 2016-12-06

问题解析

（1）根据∠ADC=∠MDN=90°，都减去∠AON即可求出答案；
（2）求出∠DAM=∠C=45°，求出AD=DC，根据ASA证两三角形全等即可；
（3）过N作NH⊥BC于H，求出NH=CH=(√(2))/(2)，由勾股定理求出DH，证△CHN∽△CDA推出(CH)/(CD)=(CN)/(AC)，代入求出即可．

名师点评

本题考点：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：

本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，题目比较好，但有一定的难度．

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