三角形三边a,b,c,满足a三次方+b三次方+c三次方-3abc=0,求三角形形状

Question

三角形三边a,b,c,满足a三次方+b三次方+c三次方-3abc=0,求三角形形状

Answer 1

a^3+b^3+c^3-3abc=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab) =0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)=0
(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)=0
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
(a+b+c)[1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2]=0
a+b+c=0或a=b=c
因为a+b+c不可能=0
所以a=b=c
等边三角形