a,b,c是三角形三边长,求证：a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)

Question

a,b,c是三角形三边长,求证：a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<=3abc

Answer 1

证明:令a=y+z,b=z+x,c=x+y,则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
≥8√xy*√yz*√xz
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.