在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（0，-1），点C（m，0）是x轴上的一个动点．（1）如图1，点B在第四象限，△AOB和△BCD都是等边三角形，点D在BC的上方，当点C在x轴上运动到如图所示

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（0，-1），点C（m，0）是x轴上的一个动点．
（1）如图1，点B在第四象限，△AOB和△BCD都是等边三角形，点D在BC的上方，当点C在x轴上运动到如图所示的位置时，连接AD，请证明△ABD≌△OBC；
（2）如图2，点B在x轴的正半轴上，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，点D在AC的上方，∠D=90°，当点C在x轴上运动（m>1）时，设点D的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数表达式；
（3）如图3，四边形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，点E在AC的上方，当点C在x轴上运动（m>1）时，设点E的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数表达式．

Answer 1

（1）∵△AOB和△BCD都是等边三角形，
∴AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，

AB=OB

∠ABD=∠OBC

BD=BC

，
∴△ABD和△OBC；            
 
（2）如图，过点D作DH⊥y轴，垂足为H，延长HD，过点C作CG⊥HD，垂足为G．
∴∠AHD=∠CGD=90°，
∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADH+∠CDG=90°，
∵∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠CDG=∠DAH，
∵在△AHD和△DGC中，

∠AHD=∠CGD

∠CDG=∠DAH

AD=CD

，
∴△AHD≌△DGC（AAS），
∴DH=CG=OH，
∵点D的坐标为（x，y），
∴y与x之间的关系是y=x；

（3）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，则∠EMC=∠COA=90°，
∵四边形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，
∴AC=CE，∠ACO+∠ECO=90°，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ECO=∠CAO，
在△EMC和△COA中，

∠EMC=∠COA

∠ECO=∠CAO

AC=CE

，
∴△EMC≌△COA（AAS），
∴MC=OA=1，EM=OC，
∵点E的坐标为（x，y），
∴EM=OC=x+1，
∴y与x之间的关系是y=x+1．