如图1，等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，点F在边BC上，点M为AF的中点，连EM．（1）①在图1中画出△BEF关于直线BE成轴对称的三角形；②求证：CF=2ME；（2）将图1中的△BEF绕点B

Question

如图1，等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，点F在边BC上，点M为AF的中点，连EM．
（1）①在图1中画出△BEF关于直线BE成轴对称的三角形；
②求证：CF=2ME；
（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转至如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论②是否仍成立？请证明你的结论；
（3）如图3，过B作BS⊥ME于S，若ES=2，BS=4，CF=10，则S_{四边形CFEB}为___（直接写出结果）

Answer 1

（1） ①延长EF交AB于D，如图1，
∵等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，
∴∠1=∠BFE=45°，
∴∠2=∠BDE=45°，
∴EF=ED=BE，
即BE垂直平分DF，
∴△BED与△BEF关于直线BE对称，
即△BED为所作；
②证明∵M点为AF的中点，
而EF=ED，
∴ME为△FAD的中位线，
∴AD=2ME，
∵BD=BF，BA=BC，
∴AD=CF，
∴CF=2ME；
（2） （1）中的结论②仍成立．理由如下：
延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，
∵M点为AF的中点，
而EF=EG，
∴ME为△FAG的中位线，
∴AG=2ME，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠BEF=90°，BE=EF，
而EF=EG，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠EBG=45°，
∴△FBG为等腰直角三角形，
∴BF=BG，∠FBG=90°，
∵∠ABG+∠ABF=90°，∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABG=∠CBF，
在△ABG和△CBF中

BA=BC

∠ABG=∠CBF

BG=BF

，
∴△ABG≌△CBF，
∴AG=CF，
∴CF=2ME；
（4）延长FE到点G，使EG=EF，如图3，连结AG、BG，作FH⊥ME于H，交AG于L，延长BS交AG于K，
由（3）得△ABG≌△CBF，
∴AG=CF=10，S_△ABG=S_△CBF，
∵∠FEH+∠BES=90°，∠EBS+∠BES=90°，
∴∠FEH=∠EBS，
在△FEH和△EBS中

∠FHE=∠BSE

∠FEH=∠EBS

FE=EB

，
∴△FEH≌△EBS，
∴FH=ES=2，
∵ME为△FAG的中位线，
∴FH=HL=2，ME∥AG，
易得四边形HLKS为矩形，
∴SK=HL=2，
∴BK=BS+SK=4+2=6，
∴S_△ABG=(1)/(2)•10•6=30，
∴S_△CBF=30，
在Rt△BES中，BE=√(22+42)=2√(5)，
∴S_△BEF=(1)/(2)•2√(5)•2√(5)=10，
∴S_{四边形CFEB}=S_△BCF+S_△BEF=30+10=40．
故答案为40．