在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），点B（b，0）是x轴上两点，其中a2+2ab+b2+|b-4|=0，点C，D都在y轴上，E在射线AC上（不与点A重合），DB=DE，连结BE．（1）求A、B的坐标；（2）如图a，若C在y轴

Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），点B（b，0）是x轴上两点，其中a²+2ab+b²+|b-4|=0，点C，D都在y轴上，E在射线AC上（不与点A重合），DB=DE，连结BE．
（1）求A、B的坐标；
（2）如图a，若C在y轴正半轴，D在线段OC上，当∠CAO=30°时，求证：△BDE为等边三角形；（提示：连结AD…）
（3）当BD⊥DE时，在图b中画出示意图，设E（m，n），若mn=2，求(n)/(m)+(m)/(n)的值．

Answer 1

（1）∵a²+2ab+b²+|b-4|=0，
∴（a+b）²+|b-4|=0，
  又∵（a+b）²≥0，|b-4|≥0，
∴（a+b）²=0，|b-4|=0，
∴a=-4，b=4，
∴A（-4，0），B（4，0）；

（2）证明：如图a，连接AD并延长至F，
∵A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB，
∵OD⊥AB，
∴DA=DB，
∴∠DAO=∠DBO，
∴∠BDF=∠DAO+∠DBO=2∠DAO，
∵DA=DB，DE=DB，
∴DA=DE，
同理可得∠EDF=2∠DAE，
∴∠BDF+∠EDF=2∠DAE+2∠DAO=2∠CAO=60°，
即∠EDB=60°，
又∵DE=DB，
∴△BDE为等边三角形；

（3）分两种情况：
①当C在y轴正半轴时，如图b所示，过点E作EG⊥y轴于点G，则∠GED+∠GDE=90°，
∵DE⊥DB，
∴∠ODB+∠GDE=90°，
∴∠GED=∠ODB，
又∵∠DGE=∠DOB=90°，DE=DB，
∴在△DGE和△BOD中，

∠GED=∠ODB

∠DGE=∠DOB

DE=DB

，
∴△DGE≌△BOD（AAS）
∴OD=EG，DG=OB=4，
∵E（m，n），
∴OD=EG=m，OG=n，
由OG-OD=DG，得n-m=4，
∵mn=2，
∴(n)/(m)+(m)/(n)=(m2+n2)/(mn)=((n-m)2+2mn)/(mn)=(42+2×2)/(2)=10；

②当C在y轴负半轴时，如图c所示，过点E作EG⊥y轴于点G，
同理可得，△DGE≌△BOD，
∴OD=EG，DG=OB=4，
∵E（m，n），
∴OD=EG=-m，OG=-n，
由OD+OG=DG，得-m+（-n）=4，则m+n=-4，
∵mn=2，
∴(n)/(m)+(m)/(n)=(m2+n2)/(mn)=((m+n)2-2mn)/(mn)=((-4)2-2×2)/(2)=6，
综上所述，(n)/(m)+(m)/(n)的值为10或6．