如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF，AD=2AB，设点D的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若斜率为12的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q（位于x轴上方），记直

Question

如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF，

AD

=2

AB

，设点D的轨迹为C．
（I）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若斜率为(1)/(2)的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q（位于x轴上方），记直线OP，OQ的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的取值范围．

Answer 1

（I）设D（x，y），则由

AD

=2

AB

得B为AD的中点，
所以A（-x，0），B（0，(y)/(2)）
∵AB⊥BF，∴

AB

•

BF

=0，
∴（x，(y)/(2)）•（1，-(y)/(2)）=0
∴y²=4x（x≠0）；
（Ⅱ）斜率为(1)/(2)的直线l的方程为y=(1)/(2)x+b，代入y²=4x，整理可得x²+（4b-16）x+4b²=0，
△=（4b-16）²-16b²>0，∴b<2
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴x₁+x₂=16-4b，x₁x₂=4b²．
k₁+k₂=(y1)/(x1)+(y2)/(x2)=(((1)/(2)x1+b)x2+((1)/(2)x2+b)x1)/(x1x2)=(4)/(b)，
∵b<2，∴(4)/(b)<0或(4)/(b)>2，
∵k₁+k₂的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．