如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，33）．将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax2-23x经过点A，点D是该抛物线的顶点．（1）求证

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，3√(3)）．将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax²-2√(3)x经过点A，点D是该抛物线的顶点．
（1）求证：四边形ABCO是平行四边形；
（2）求a的值并说明点B在抛物线上；
（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；
（4）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标．

Answer 1

（1）证明：∵△AOC绕AC的中点旋转180°，
点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．

（2）∵抛物线y=ax²-2√(3)x经过点A，
点A的坐标为（2，0），
∴4a−4√(3)＝0，
解得：a＝√(3)．
∴y=√(3)x²-2√(3)x．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥CB．
∵点C的坐标为（1，3√(3)），
∴点B的坐标为（3，3√(3)）．
把x=3代入此函数解析式，得：y=√(3)×3²-2√(3)×3=3√(3)．
∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上．
∴顶点D的坐标为（1，-√(3)）．

（3）连接BO，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点D作DF⊥x轴于点F．
tan∠BOE=√(3)，tan∠DAF=√(3)，
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
设点P的坐标为（x，0），
∴(AP)/(OA)＝(AD)/(OB)，
∴(2−x)/(2)＝(2)/(6)，
解得：x=(4)/(3)．
∴点P的坐标为（(4)/(3)，0）．

（4）
分三种情况进行讨论：
①如第一个图：此时QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如第二个图：此时OP=OA+AP=3，P点的坐标为（3，0）；
③如第三个图：此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，√(3)），根据A，D的坐标可求出直线AD的解析式为y=√(3)x-2√(3)，由于QP∥AD，因此直线PQ的解析式为y=√(3)x+√(3)，可求得P点的坐标为（-1，0）．
综上所述，共有3个符合条件的P点的坐标，即P₁（1，0），P₂（-1，0），P₃（3，0）．