由心脏线围成的均匀区域的重心设平面区域D由r=a(1+cosθ)所围（a>0）,D的面密度均匀,求D的重心.我设面密度为1,先求质量m=∫∫dxdy=∫[0到2∏]dθ∫[0到a(1+cosθ)]rdr=3/2*∏a^2,再求∫∫xdxdy=∫[0到2∏]d

Question

由心脏线围成的均匀区域的重心
设平面区域D由r=a(1+cosθ)所围（a>0）,D的面密度均匀,求D的重心.
我设面密度为1,先求质量m=∫∫dxdy=∫[0到2∏]dθ∫[0到a(1+cosθ)]rdr=3/2*∏a^2,再求∫∫xdxdy=∫[0到2∏]dθ∫[0到a(1+cosθ)]r^2*cosθdr=3/2*∏a^3,相除得横坐标为a.
但答案是5/6*a,请问我哪里做错了?麻烦你指出来,如果是积分积错的话请把正确的步骤打出来（步骤不要跳太快,我要看看我哪里错了）.
百度显示得不好，那个“∏”是圆周率π

Answer 1

面积=2*1/2∫r^2dθ 积分区间（0,π）
∫∫xdxdy
=∫r*cosθ*r^2dθ 积分区间（0,2π）
=∫[a(1+cosθ)]^3*cosθdθ
=a^3*∫(cosθ+3(cosθ)^2+3(cosθ)^3+(cosθ)^4dθ
=a^3*(sinθ+3/2(θ+1/2sinθ)+3sinθ-(sinθ)^3+∫(cosθ)^4dθ
∫(cosθ)^4dθ=3θ/8+sin4θ/32+sin2θ/4
代入区间（0,2π）
只有3/2θ,3θ/8 不为0
所以原式=15πa^3/4
相除=5/6*a
答案正确!1