已知数列{an}满足：0<a1<1，an+1=an-ln（an+1），求证：（1）0<an+1<an<1；（2）若a1=22，且an+1<a2n2，则当n≥2时，an<12n．

Question

已知数列{a_n}满足：0<a₁<1，a_n+1=a_n-ln（a_n+1），求证：
（1）0<a_n+1<a_n<1；
（2）若a₁=(√(2))/(2)，且a_n+1<(a2n)/(2)，则当n≥2时，a_n<(1)/(2n)．

Answer 1

证明：（1）先用数学归纳法证明0n<1．
①当n=1时，由已知得结论成立
②假设n=k（k∈N₊）时0k<1成立，则当n=k+1时，设f（x）=x-ln（x+1），
于是f′（x）=1-(1)/(x+1)在（0，1）上恒有f′（x）>0，所以f（x）在（0，1）上递增，
∴f（0）<f（a_k）<f（1）=1-ln2<1，又f（0）=0，从而0<a_k+1<1，
这就是说当n=k+1时命题成立，
由①②知0<a_n<1成立
又a_n+1-a_n=-ln（1+a_n）<0，即a_n+1<a_n，
综上可得，0<a_n+1<a_n<1，n∈N₊．
（2）∵a_n+1<(a2n)/(2)，
∴(an+1)/(an)<(an)/(2)，
从而当n≥2时，(an)/(a1)=(a2)/(a1)×(a3)/(a2)×…×(an)/(an-1)<(a1)/(2)×(a2)/(2)×…×(an-1)/(2)，
∵a₁=(√(2))/(2)，0<a_n+1<a_n<1；
∴a_n<(a1)/(2)×(a2)/(2)×…×(an-1)/(2)•a₁=(a21)/(2n-1)=(1)/(2n)