线性无关的向量不一定正交,但其坐标向量一定正交,为什么?a1,a2,……an是线性空间的一个基,则a1的坐标是（1,0,……）,a2的坐标是（0,1,……）,……an的坐标是（0,……1）,它们的坐标是正交向

Question

线性无关的向量不一定正交,但其坐标向量一定正交,为什么?
a1,a2,……an是线性空间的一个基,则a1的坐标是（1,0,……）,a2的坐标是（0,1,……）,……an的坐标是（0,……1）,它们的坐标是正交向量,可a1,a2,……an不一定正交呀?
（1 1 1）（1 1 4）（1 2 3）是三个线性无关的向量,组成三维空间的一个基,它们不正交,但它们的坐标正交.为什么?

Answer 1

用三维欧式空间举例,其坐标向量(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是正交的,同样也是线性无关的,但线性无关的向量就不一定正交了,例如(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)是线性无关的,它也构成三维欧式空间的一组基底（不是坐标基底）,但它们不是正交的.