二次函数二次三项式在x=1/2时取最小值-49/4,它的两个根的四次方之和为337,求这个二次三项式.

Question

二次函数
二次三项式在x=1/2时取最小值-49/4,它的两个根的四次方之和为337,求这个二次三项式.

Answer 1

二次三项式在x=1/2时取最小值-49/4
那么可以设为:a(x-1/2)^2-49/4=ax^2-ax+a/4-49/4
设方程ax^2-ax+a/4-49/4=0的二个根是x1,x2
x1+x2=1
x1x2=(a-49)/(4a)
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=1-(a-49)/(2a)=(a+49)/(2a)
x1^4+x2^4=(x1^2+x2^2)^2-2(x1x2)^2=337
(a+49)^2/(4a^2)-2*(a-49)^2/(16a^2)=337
2(a+49)^2-(a-49)^2=337*8a^2
a^2+294a+2401=2696a^2
2695a^2-294a-2401=0
(a-1)(2695a+2401)=0
a1=1
a2=-2401/2695
所以,二次三项式是:
x^2-x-12.(当a=1时)
或:
-2401/2695x^2+2401/2695x-686/55