一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点，两轻杆与转轴间夹角均为30°，小球a、b分别套在两杆上，小环c套在转轴上，球与环质量均为m，c与a、b间均用长为

Question

一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点，两轻杆与转轴间夹角均为30°，小球a、b分别套在两杆上，小环c套在转轴上，球与环质量均为m，c与a、b间均用长为L的细线相连，原长为L的轻质弹簧套在转轴上，且与轴上P点、环c相连．当装置以某一转速转动时，弹簧伸长到(3)/(2)L，环c静止在O处，此时弹簧弹力等于环的重力，球、环间的细线刚好拉直而无张力．弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g．求：

（1）细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度ω₁；
（2）如图乙所示，该装置以角速度ω² （未知）匀速转动时，弹簧长为(L)/(2)，求此时杆对小球的弹力大小；
（3）该装置转动的角速度由ω₁缓慢变化到ω₂，求该过程外界对转动装置做的功．

Answer 1

（1）小球做匀速圆周运动，由向心力公式有：
  mgtan60°=mω₁²Lsin30°
解得：角速度ω₁=√((2√(3)g)/(L))
（2）对环c．由竖起方向力平衡得：2F_线cos60°=mg+F_弹；
由题，弹簧拉伸和压缩的形变量相同，则F_弹=mg
对球a：竖直方向有 F_Nsin30°=mg+2F_线sin30°
解得，弹力 F_N=4mg
（3）球a做匀速圆周运动，根据向心力公式有：
  F_Ncos30°+F_线cos30°=mω₂²Lcos30°
a球的线速度 v₂=ω₂Lcos30°
整个过程弹簧弹性势能的变化量为零，弹簧弹力做的功为零，对系统，由功能关系得：
   W=△E_p+△E_k=mg（(3L)/(2)-(L)/(2)）+2mg（(3L)/(2)-(√(3)L)/(2)）+2×(1)/(2)m[（ω₂Lcos30°）²-（ω₁(L)/(2)）²]=(17-3√(3))/(2)mgL
答：
（1）细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度ω₁是√((2√(3)g)/(L))．
（2）此时杆对小球的弹力大小是4mg；
（3）该装置转动的角速度由ω₁缓慢变化到ω₂，该过程外界对转动装置做的功是(17-3√(3))/(2)mgL．