已知四面体P-ABC中，PA=4，AC=27，PB=PC=23，PA⊥平面PBC，则四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比（）A．216B．328C．3216D．28

Question

已知四面体P-ABC中，PA=4，AC=2√(7)，PB=PC=2√(3)，PA⊥平面PBC，则四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比（　　）

A．(√(2))/(16)
B．(3√(2))/(8)
C．(3√(2))/(16)
D．(√(2))/(8)

Answer 1

由题意，已知PA⊥面PBC，PA=4，PB=BC=2√(3)，AC=2√(7)
所以，由勾股定理得到：AB=2√(7)，PC=2√(3)
所以，△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形
等边三角形PBC所在的小圆的直径PD=(2√(3))/(sin60°)=4
那么，四面体P-ABC的外接球直径2R=√(16+16)=4√(2)，所以，R=2√(2)
V_P-ABC=(1)/(3)S_△PBC•PA=(1)/(3)•(√(3))/(4)•12•4=4√(3)
表面积S=(1)/(2)•2√(3)•4•2+(√(3))/(4)•12+(1)/(2)•2√(3)•5=16√(3)
设内切球半径为r，那么4√(3)=(1)/(3)•16√(3)r，所以r=(3)/(4)，
所以四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比((3)/(4))/(2√(2))=(3√(2))/(16)．
故选：C．