数列{an}中，a1=1，a2=2．数列{bn}满足bn=an+1+(-1)nan，n∈N+．（1）若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前6项和S6；（2）若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式．

Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2．数列{b_n}满足bn=an+1+(-1)nan，n∈N₊．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求数列{b_n}的前6项和S₆；
（2）若数列{b_n}是公差为2的等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₂=2，∴a_n=n．再由数列{b_n}满足bn=an+1+(-1)nan，n∈N₊．
可得 b₁=b₃=b₅=1，b₂=5，b₄=9，b₆=13，∴数列{b_n}的前6项和S₆=30．
（2）∵数列{b_n}是公差为2的等差数列，b₁=a₂-a₁=1，∴b_n =2n-1．
再由bn=an+1+(-1)nan可得b_2n-1=a_2n-a_2n-1=4n-3，b_2n=a_2n+1+a_2n=4n-1．
相减可得 a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+3+a_2n+1=2，∴a_2n+3=a_2n-1．
∵a₁=1，a₃=1，∴a_4n-3=a₁=1，a_4n-1=a₃=1．
∴a_n=

1  ， n为奇数

2n-2 ， n为偶数

．