在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD如图如图2-21,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.（1）设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?（2）设矩形的面积为

Question

在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD如图
如图2-21,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,
其中AB和AD分别在两直角边上.
（1）设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?
（2）设矩形的面积为y m2 ,当x 取何值时,y 的值最大?
最大值是多少?
着急呢。加 分儿。

Answer 1

第一题：
简单有三角形FDC相似于三角形FAE
DF/AF=DC/AE
DF=AF-AD,有（AF-AD）/AF=DC/AE
设矩形宽AD为X；
（30-X）/30=DC/40
DC=（120-4X）/3
矩形面积：X（120-4X）/3=-4X²/3+40X
根据二次函数性质,当X=-40/（-8/3）=15时面积最大
最大面积为300
第二题：从O做MN垂线交MN于P,交AB于Q
OP为斜边上的高,根据公式OP=OM×0N/MN=30×40/50=24
简单有三角形OAB相似于三角形OMN
根据相似三角形对应高的比等于相似比：
OQ/OP=AB/MN
OQ=OP-PQ,有（OP-PQ）/OP=AB/MN
设PQ为X
（24-X）/24=AB/50,AB=50-25X/12
PQ=AD,矩形面积=AB×AD=AB×PQ=-25X²/12+50X
根据二次函数性质,当X=-50/（-25/6）=12时面积最大
最大面积仍然是300