初三数学如图,矩形A’BC’O’是矩形OABC（边OA在X轴正半轴,边OC在Y轴正半周上）饶B逆时针旋转得到的.O’点在X轴的正半轴上,B点的坐标为（1,3）50[标签：矩形,bcoa,bc]如图,矩形A’BC’O’是矩

Question

初三数学
如图,矩形A’BC’O’是矩形OABC（边OA在X轴正半轴,边OC在Y轴正半周上）饶B逆时针旋转得到的.O’点在X轴的正半轴上,B点的坐标为（1,3）
50[ 标签：矩形,bc oa,bc ] 如图,矩形A’BC’O’是矩形OABC（边OA在X轴正半轴,边OC在Y轴正半周上）饶B逆时针旋转得到的.O’点在X轴的正半轴上,B点的坐标为（1,3）
（1）如果二次函数Y=AX^2+BX+C（A≠0 ）的图象经过O,O’ 两点且图象顶点 M的纵坐标为 -1,求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点 ,使得△ POM为直角三角形?若存在,请求出 P点的坐标和△ POM 的面积；若不存在,请说明理由；
（3）求边 C’O’所在直线的解析式．

Answer 1

(1)
因为B不动,对角线OB旋转后长度也不变,且旋转后O’落在X轴上,
所以O’必定关于B（1,3）所在的X=1直线对称,所以O’的坐标为（2,0）
而二次函数Y=AX^2+BX+C（A≠0 ）的图象通过O,O’ 两点,
而二次函数的图像是对称的,所以它的中心对称线是X=1,顶点的横坐标是X=1,
而已知顶点纵坐标为1,所以该函数必经过O（0,0）、O’（2,0）和顶点（1,1）三点,
将三点代入函数表达式得方程组：
C=0,4A+2B=0,A+B+C=1
解得,A=-1/2,B=1,C=0,
所以函数解析式为Y=-1/2X^2+X
(2)
设存在该点P（x,y）,则可能有两种情况a:OP为直角三角形的斜边,b:OM为直角三角形的斜边,
对于情况a,有方程组OM^2+PM^2=OP^2
即：Y=-1/2X^2+X,(1-0)^2+(1-0)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=x^2+y^2
解得,x=2,y=0
此时P(2,0) 面积为OM*MP*1/2=根号2*根号2*1/2=1
对于情况b,有方程组OM^2+OP^2=PM^2
即：Y=-1/2X^2+X,(1-0)^2+(1-0)^2+x^2+y^2=(x-1)^2+(y-1)^2
解得,x=0（舍去）或x=4,y=-4.
此时P(4,-4) 面积为OM*OP*1/2=根号2*根号(4^2+(-4-0)^2)*1/2=4
(3)因为O'(2,0),设C'(x,y),由BC'^2+O'C'^2=O'B^2, BC'=1,O'C'=3列方程组解决得 x,y 从而确定C'的坐标,接着O'、C'两点可得到直线解析式