如果矩形的4个顶点分别在原点、反比例函数y=kx图象、x轴和y轴上，那么这个矩形称为反比例函数y=kx图象的伴随矩形．如图（a），矩形AEOF，正方形BGOH都是反比例函数y=kx（k>0，x>0）图象的伴

Question

如果矩形的4个顶点分别在原点、反比例函数y=(k)/(x)图象、x轴和y轴上，那么这个矩形称为反比例函数y=(k)/(x)图象的伴随矩形．如图（a），矩形AEOF，正方形BGOH都是反比例函数y=(k)/(x)（k>0，x>0）图象的伴随矩形．
（1）当k=6时，①伴随矩形的面积等于___；②在图（b）中用尺规作图的反比例函数y=(k)/(x)的图象上作出一个点P，使OP=2√(3)；
（2）在图（a）中画直线AB分别交x轴，y轴于点C，D，得图（c），求证：DB：DA=CA：CB；
（3）由DB：DA=CA：CB，你还能得出什么更进一步的结论？请直接写出你的结论．

Answer 1

（1） ①∵四边形AEOF是矩形，
∴∠AEO=∠EOF=∠OFA=∠EAF=90°，AE=OF，OE=AF，
∵矩形AEOF的面积=OE•AE，OE•AE=k=6，
∴伴随矩形AEOF的面积=6；
②如图所示：
作出第一象限角的平分线，与反比例函数图象的交点即为满足条件的点P；
（2）证明：由（1）①得：正方形BGOH的面积=矩形AEOF的面积=6，
∴BG•BH=AE•AF=6，
∴(BG)/(AF)=(AE)/(BH)，
∵四边形BGOH是正方形，四边形AEOF是矩形，
∴BG=BH，BG∥AF，AE∥BH，
∴△BDG∽△ADF，△ACE∽△BCH，
(DB)/(DA)=(BG)/(AF)，(CA)/(CB)=(AE)/(BH)，
∴(DB)/(DA)=(CA)/(CB)；
（3） 得出更进一步的结论：伴随矩形的面积=k（k>0）；理由如下：
∵DB：DA=CA：CB，
由（2）得：(DB)/(DA)=(BG)/(AF)，(CA)/(CB)=(AE)/(BH)，
∴(BG)/(AF)=(AE)/(BH)，
∴BG•BH=AE•AF=6，
即伴随矩形的面积=k（k>0）．